三角形相关问题(1)


竞赛题
问题:三角形ABC的三边长a,b,c 满足:a>b>c,  a+c=2b,  b是正整数,a^2+b^2+c^2=84. 试求正整数b的值?
解:2b=a+c,
则4b^2=a^2+2ac+c^2,2ac=4b^2-a^2-c^2;
∵a>0,c>0,由均值不等式,a^2+c^2≥2ac,即a^2+c^2≥4b^2-a^2-c^2,
化简得a^2+c^2≥2b^2;
∵a^2+b^2+c^2=84,∴84=a^2+b^2+c^2≥2b^2+b^2=3b^2,
解得b^2≤28;
∵b是正整数,∴b可能的取值为5,4,3,2,1;
若b=3,则c<3,a<b+c<6,
则a^2+b^2+c^2<6^2+3^2+3^2=54<84;
所以b=3不成立。
同理,b<3也不成立。
∴b>3,即b可能的取值为4或5;
若b=4,则a+c=2b=8,a^2+16+c^2=84;
联立以上两式得c=(8+根号72)/2 >4
也即c>b,因为a>b>c ∴b≠4;
∴b=5.

上题来源:2009年10月28日 星期三 晚自习 学生提问。

[本日志由 随然 于 2009-10-28 09:39 PM 编辑]
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