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三角形相关问题(1)

竞赛题
问题:三角形ABC的三边长a,b,c 满足:a>b>c,  a+c=2b,  b是正整数,a^2+b^2+c^2=84. 试求正整数b的值?
解:2b=a+c,
则4b^2=a^2+2ac+c^2,2ac=4b^2-a^2-c^2;
∵a>0,c>0,由均值不等式,a^2+c^2≥2ac,即a^2+c^2≥4b^2-a^2-c^2,
化简得a^2+c^2≥2b^2;
∵a^2+b^2+c^2=84,∴84=a^2+b^2+c^2≥2b^2+b^2=3b^2,

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Tags: 数学

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